Fórmula del interés compuesto

La ecuación completa

La fórmula base del interés compuesto, sin aportes adicionales, es:

A = P × (1 + r/n)^n×t

Cada letra representa una variable concreta:

• A (monto final o valor futuro): el resultado, cuánto dinero tendrás al final del plazo.
• P (principal o capital inicial): cuánto dinero inviertes o depositas al comienzo.
• r (tasa de interés anual, en decimal): la tasa que te ofrecen, dividida entre 100. Por ejemplo, 10% se escribe como 0,10.
• n (frecuencia de capitalización por año): cuántas veces al año se suma el interés generado al capital. 12 para mensual, 4 para trimestral, 2 para semestral, 1 para anual.
• t (tiempo en años): la duración total de la inversión o el préstamo, expresada en años (puede ser decimal, por ejemplo 2,5 años).

De dónde sale la fórmula

La fórmula se construye aplicando el mismo cálculo, una y otra vez, en cada periodo de capitalización. Después de UN periodo, tu capital P crece a P × (1 + r/n), porque ganaste una fracción r/n de interés. Después de DOS periodos, ese nuevo monto vuelve a crecer en la misma proporción: P × (1 + r/n) × (1 + r/n) = P × (1 + r/n)². Repite esto n×t veces (el número total de periodos de capitalización en todo el plazo) y obtienes P × (1 + r/n)^n×t, que es exactamente la fórmula de arriba. Esa repetición es la razón por la que el interés compuesto crece de forma exponencial: cada periodo capitaliza sobre una base ligeramente más grande que el periodo anterior, no sobre la misma base fija (a diferencia del interés simple).

Fórmula con aportes mensuales (anualidad ordinaria)

Cuando además de tu capital inicial haces un aporte constante en cada periodo (por ejemplo, un depósito mensual a tu cuenta de ahorro), el valor futuro de esos aportes se calcula con la fórmula de una anualidad ordinaria:

A_aportes = c × [(1 + r/n)^n×t − 1] / (r/n)

Donde c es el monto del aporte que corresponde a CADA periodo de capitalización (si capitalizas mensualmente y aportas mensualmente, c es simplemente tu aporte mensual; si capitalizas trimestralmente pero aportas mensualmente, c es la suma de los tres aportes mensuales de ese trimestre). El monto final total, cuando hay aportes, es la suma de las dos partes:

A_total = P × (1 + r/n)^n×t + c × [(1 + r/n)^n×t − 1] / (r/n)

Ejemplo numérico paso a paso, sin aportes

Calculemos A = P × (1 + r/n)^n×t para un capital de $ 1.000.000, tasa anual del 10%, capitalización mensual (n=12), durante 1 año (t=1):

1. r/n = 0,10 / 12 = 0,008333... (la tasa mensual)
2. 1 + r/n = 1,008333...
3. n × t = 12 × 1 = 12 (el número total de periodos)
4. (1 + r/n)^(n×t) = 1,008333...^12 = 1,104713 (aproximado)
5. A = 1.000.000 × 1,104713 = $ 1.104.713
6. Intereses ganados = A − P = 1.104.713 − 1.000.000 = $ 104.713

Ejemplo numérico paso a paso, con aporte mensual

Ahora agreguemos un aporte mensual de $ 200.000, con capital inicial de $ 2.000.000, tasa anual del 8%, capitalización mensual, durante 5 años (t=5):

1. r/n = 0,08 / 12 = 0,006667 (la tasa mensual)
2. n × t = 12 × 5 = 60 periodos
3. (1 + r/n)^(n×t) = 1,006667^60 = 1,489846 (aproximado)
4. Crecimiento del capital inicial: 2.000.000 × 1,489846 = $ 2.979.691
5. Valor futuro de los aportes: 200.000 × [(1,489846 − 1) / 0,006667] = $ 14.695.371
6. Monto final total: 2.979.691 + 14.695.371 = $ 17.675.063
7. Total aportado (capital + 60 aportes de 200.000): 2.000.000 + 12.000.000 = $ 14.000.000
8. Intereses ganados: 17.675.063 − 14.000.000 = $ 3.675.063

Fórmula del interés simple, para comparar

El interés simple usa una fórmula mucho más corta, porque el interés se calcula siempre sobre el mismo capital inicial, sin acumularse:

A = P × (1 + r × t)

Con los mismos $ 1.000.000 al 10% anual durante 1 año, el interés simple da A = 1.000.000 × (1 + 0,10 × 1) = $ 1.100.000, un poco menos que los $ 1.104.713 del interés compuesto mensual. La diferencia parece pequeña en un año, pero se vuelve enorme en plazos largos: a 20 años, el interés simple da exactamente $ 3.000.000 (el capital se triplica una sola vez), mientras que el interés compuesto con capitalización mensual da $ 7.328.074, más del doble.

Cómo despejar cada variable de la fórmula

A veces no quieres calcular A, sino despejar otra variable. Estas son las versiones despejadas más útiles:

• Despejar el capital inicial (P): P = A / (1 + r/n)^n×t: útil para saber cuánto necesitas invertir HOY para llegar a una meta futura.
• Despejar la tasa de interés (r): r = n × [(A/P)^1/(n×t) − 1]: útil para saber qué tasa efectiva estás realmente ganando (o pagando).
• Despejar el tiempo (t): t = ln(A/P) / [n × ln(1 + r/n)]: útil para saber cuánto tiempo necesitas para alcanzar un monto objetivo con una tasa dada.